3 Cara Untuk Mencari Gradien Persamaan

Gradien sebuah garis adalah ukuran seberapa cepat nilai fungsinya berubah. Gradien bisa dipakai pada sebuah garis lurus; gradien menggambarkan seberapa cepat suatu garis naik (gradien positif) atau turun (gradien negatif) saat bergerak ke kanan. Gradien bisa juga digunakan pada garis singgung sebuah kurva. Gradien juga bisa ditemukan pada kurva saat mengerjakan Kalkulus; di situ gradien juga dikenal sebagai "turunan" sebuah fungsi. Di mana pun ia berada, bayangkan gradien sebagai "laju perubahan" sebuah grafik: jika kita memasukkan nilai "x" yang lebih besar, seberapa besar nilai "y" berubah? Dengan cara ini kita bisa melihat gradien sebagai sebuah sebab dan akibat.

Metode1

Mencari Gradien Sebuah Persamaan Linier

1. 
   1
   Gunakan gradien untuk menentukan kemiringan dan arah (naik atau turun) sebuah garis. Mencari gradien sebuah garis itu mudah, selama Anda tahu cara menuliskan sebuah persamaan linier. Cara ini berlaku jika dan hanya jika:

   • Tidak ada pangkat pada variabel
   • Hanya ada dua variabel, keduanya tidak dalam bentuk pecahan (misalnya, tidak dalam bentuk ${\displaystyle {\frac {1}{x}}}$)
   • Persamaan dapat disederhanakan menjadi bentuk ${\displaystyle y=mx+b}$; m dan b adalah konstanta (misalnya angka seperti 3, 10, -12, ${\displaystyle {\frac {4}{3}},{\frac {3}{5}}}$).^[1]
2. 2
   Cari angka di depan variabel x, biasanya dituliskan sebagai "m", untuk menentukan gradien. Jika persamaan Anda sudah dalam bentuk yang tepat, ${\displaystyle y=mx+b}$, lihatlah angka pada posisi "m" (jika tidak ada angka di depan variabel x maka gradiennya adalah 1). Itulah gradiennya! Ingatlah bahwa angka ini, m, selalu dikalikan dengan variabel, dalam kasus ini dengan "x". Lihatlah contoh berikut:

   • ${\displaystyle y=2x+6}$
     • Gradien = 2
   • ${\displaystyle y=2-x}$
     • Gradien = -1
   • ${\displaystyle y={\frac {3}{8}}x-10}$
     • Gradien = ${\displaystyle {\frac {3}{8}}}$ ^[2]
3. 
   3
   Atur kembali persamaan sehingga satu variabel disendirikan jika gradiennya tidak langsung kelihatan. Anda bisa menambah, mengurang, mengali, dan melakukan proses lain untuk memisahkan sebuah variabel, biasanya variabel "y". Ingatlah selalu, apa pun yang Anda lakukan pada satu sisi persamaan (misalnya menambahkan 3), lakukan juga pada sisi lainnya. Tujuan akhirnya adalah menghasilkan bentuk yang serupa dengan ${\displaystyle y=mx+b}$. Misalnya:

   • Cari gradien dari ${\displaystyle 2y-3=8x+7}$
   • Ubah bentuknya menjadi ${\displaystyle y=mx+b}$:
     • ${\displaystyle 2y-3+3=8x+7+3}$
     • ${\displaystyle 2y=8x+10}$
     • ${\displaystyle {\frac {2y}{2}}={\frac {8x+10}{2}}}$
     • ${\displaystyle y=4x+5}$
   • Cari gradien:
     • Gradien = m = 4^[3]

Metode2

Mencari Gradien dengan Dua Titik

1. 
   1
   Gunakan grafik dan ambil dua titik untuk menentukan gradien jika persamaannya tidak diketahui. Jika Anda mengetahui sebuah grafik atau garis, tetapi tidak mengetahui persamaannya, Anda masih bisa menemukan gradiennya dengan mudah. Yang Anda butuhkan hanyalah dua titik pada garis, yang dimasukkan ke dalam rumus ${\displaystyle {\frac {y_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}}}}$. Ketika mencari gradien, ingat selalu keterangan di bawah ini untuk membantu memeriksa bahwa hitungan Anda benar:

   • Gradien positif bergerak naik ke arah kanan.
   • Gradien negatif bergerak turun ke arah kanan.
   • Gradien lebih besar berarti lebih curam. Gradien lebih kecil berarti lebih landai.
   • Garis horizontal mempunyai gradien nol.
   • Garis vertikal tidak memiliki gradien. Gradiennya "tidak terdefinisi".^[4]
2. 
   2
   Cari dua titik, tuliskan dalam bentuk (x,y). Gunakan grafik (atau dari soal) untuk mendapatkan koordinat x dan y dua titik pada grafik. Ambil dua titik dari bagian mana saja pada garis. Misalnya garis yang dimaksud melalui titik (2,4) dan (6,6).^[5]

   • Pada setiap pasangan bilangan, koordinat x adalah yang pertama, koordinat y adalah yang kedua.
   • Pada setiap titik, setiap koordinat x berpasangan dengan sebuah koordinat y.
3. 
   3
   Tandai titik x₁, y₁, x₂, y₂, untuk membedakan titik pada masing-masing pasangan. Melanjutkan dari soal sebelumnya, dengan titik (2,4) dan (6,6), tandai x dan y pada masing-masing titik. Hasilnya adalah sebagai berikut:

   • x₁: 2
   • y₁: 4
   • x₂: 6
   • y₂: 6^[6]
4. 
   4
   Masukkan titik-titik tersebut pada "Rumus Gradien" untuk mendapatkan gradien. Rumus berikut ini berguna untuk mendapatkan gradien pada sebuah garis dari dua titik: ${\displaystyle {\frac {y_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}}}}$. Masukkan keempat angka ke dalam rumus dan sederhanakan:

   • Koordinat titik: (2,4) and (6,6).
   • Masukkan koordinat ke dalam rumus:
     • ${\displaystyle {\frac {6-4}{6-2}}}$
   • Sederhanakan untuk jawaban akhir:
     • ${\displaystyle {\frac {2}{4}}={\frac {1}{2}}}$ = Gradien
5. 
   5
   Pahami cara kerja Rumus Gradien. Gradien sebuah garis adalah “Vertikal bagi Horizontal”: seberapa jauh sebuah garis naik secara vertikal dibagi seberapa jauh ia bergerak ke kanan secara horizontal. Nilai vertikal adalah selisih antara dua nilai-y (ingat, sumbu-Y bergerak ke atas dan ke bawah), dan nilai horizontal adalah selisih antara dua nilai-x (dan sumbu-X bergerak ke kiri dan ke kanan).
6. 
   6
   Kenali soal dalam bentuk lain untuk mencari gradien. Persamaan gradien adalah ${\displaystyle {\frac {y_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}}}}$. Rumus ini bisa juga dituliskan dengan abjad Yunani “Δ”, yang dibaca “delta”, artinya “selisih dari”. Gradien bisa juga dituliskan dengan Δy/Δx, artinya "selisih x / selisih y": artinya sama persis dengan soal "carilah gradien antara:"

1. 
   1
   Pelajari kembali beberapa cara menurunkan pada fungsi-fungsi umum. Kita bisa mendapatkan laju perubahan (atau gradien) dari nilai turunan pada satu titik di garis. Garis yang dimaksud boleh garis lurus atau lengkung--keduanya tidak masalah. Bayangkan gradien sebagai laju perubahan pada posisi mana saja, alih-alih gradien untuk seluruh garis. Cara menurunkan persamaan tergantung pada jenis fungsinya, jadi mari kita pelajari kembali beberapa turunan umum sebelum melanjutkan.

   • Pelajari kembali cara menurunkan di sini.
   • Turunan paling sederhana adalah turunan persamaan polinomial sederhana yang dengan mudah dapat dilakukan dengan cara pendek. Cara ini akan digunakan pada metode berikut.
2. 
   2
   Pahami pertanyaan seperti apa yang menanyakan gradien menggunakan turunan. Kadang tidak setiap soal menanyakan secara langsung turunan atau gradien sebuah kurva. Pertanyaannya bisa berbunyi carilah "laju perubahan pada titik (x,y)." Soal juga bisa bertanya tentang persamaan garis singgung grafik, artinya Anda perlu mencari turunannya. Yang terakhir, soal bisa menanyakan "gradien garis singgung pada titik (x,y)." Soal ini, sekali lagi, hanya bertanya tentang gradien kurva pada titik tertentu (x,y).

   • Untuk metode ini, lihat contoh berikut: "Berapa gradien garis ${\displaystyle f(x)=2x^{2}+6x}$pada titik (4,56)?"^[7]
   • Turunan biasanya ditulis sebagai ${\displaystyle f'(x),y',}$ atau ${\displaystyle {\frac {dy}{dx}}}$^[8]
3. 
   3
   Turunkan fungsi tersebut. Anda tidak butuh menggambar grafik, cukup fungsi atau persamaannya saja. Untuk contoh ini, gunakan fungsi dari contoh sebelumnya, ${\displaystyle f(x)=2x^{2}+6x}$. Ikuti cara yang ditunjukkan di sini, dan turunkan fungsi sederhana ini.

   • Turunan: ${\displaystyle f'(x)=4x+6}$
4. 
   4
   Masukkan koordinat titik pada hasil turunan untuk mendapatkan gradien.Turunan sebuah fungsi adalah gradien fungsi pada titik tertentu. Dengan kata lain, f'(x) adalah gradien fungsi pada titik (x,f(x)). Jadi, untuk soal latihan ini:

   • Berapa gradien garis ${\displaystyle f(x)=2x^{2}+6x}$ pada titik (4,56)?
   • Turunan persamaan:
     • ${\displaystyle f'(x)=4x+6}$
   • Masukkan untuk nilai x:
     • ${\displaystyle f'(x)=4(4)+6}$
   • Cari gradien:
   • Gradien dari ${\displaystyle f(x)=2x^{2}+6x}$ pada titik (4,56) adalah 22.
5. 
   5
   Periksa titik ini pada grafik jika memungkinkan. Ketahuilah bahwa tidak semua titik memiliki gradien di dalam kalkulus. Kalkulus bisa saja menghasilkan persamaan rumit dan grafik yang sulit, dan tidak semua titik memiliki gradien, atau terdefinisi pada setiap grafik. Jika memungkinkan, gunakan kalkulator grafik untuk memeriksa gradien pada grafik. Jika tidak ada kalkulator grafik, gambar garis singgung pada kurva dan hitung gradien (ingat--"vertikal bagi horizontal") dan lihat apakah jawaban Anda cukup masuk akal.

   • Garis singgung hanyalah sebuah garis yang sama gradiennya dengan gradien titik pada kurva. Untuk menggambarnya, hitung naik berapa (positif) dan turun berapa (negatif) pada gradien (dalam kasus ini, naik 22 unit). Lalu bergerak ke kanan satu unit, dan gambar titik. Hubungkan kedua titik (4,56) dan (5,78) dengan garis.